Il modello di Solow Swan, lo stato stazionario

Nei due post precedenti sul modello di Solow Swan ho descritto come esso possa essere fatto derivare da alcune ipotesi sulla struttura soggiacente all’economia.
Passiamo, ora, a verificare come si comporta un’economia che obbedisca a questo modello nel lungo periodo, in quello che matematicamente viene chiamato stato stazionario.
La condizione matematica che determina lo stato stazionario, per questo sistema è quella che impone che il primo membro dell’equazione si annulli.
Ne segue che

solowswanSe ci riferiamo al grafico, già mostrato nel post precedente, che rappresenta sul piano y/k la retta (n+δ)k e la curva sf(k) possiamo capire, e potrebbe essere dimostrato in modo rigoroso, che il punto k* per cui ciò si verifica, escludendo la soluzione banale che si ottiene considerando l’origine degli assi, è uno e uno solo.
Le condizioni che abbiamo posto ci confermano che questo punto di equilibrio del sistema è stabile.
Questo significa che il sistema, se perturbato, tenderà comunque a ritornare in quello stato.
GDP_USAIl fatto che k, nello stato stazionario, assuma un valore costante è un risultato molto interessante, poiché, in un precedente post, descrivendo la curva del PIL USA, avevo osservato che esso cresceva sia per la crescita della popolazione che per la crescita del contributo che ciascuno offre.
Questo significa che nella realtà agiscono meccanismi che le ipotesi alla base di questo modello non riescono a descrivere e riprodurre.
In questo modello, dato che k è costante in condizioni di stazionarietà, saranno costanti anche y e c. Questo comporta che l’incremento di Y, C e K sia dovuto unicamente all’incremento della popolazione, e cresceranno con un tasso di crescita n.
Una variazione, fissa, di quelle quantità, n,s e δ, che abbiamo supposto costanti e predeterminate comporteranno una variazione del valore di k nello stato stazionario, ma non possono alterare il fatto che esso sia costante.
In altri termini, questo modello, così come è stato presentato non è in grado di spiegare cosa determini, nel lungo periodo, la crescita del PIL pro-capite.
Questo deve portarci a screditare completamente il modello?
Direi proprio di no. In primis perché il modello può essere raffinato, ma anche perché dall’analisi di quali siano le ipotesi che abbiamo posto alla sua base è comunque possibile, in negativo, comprendere cosa non generi crescita economica.
In linea più generale è possibile considerare il fatto che possono esistere classi di modelli che condividono parte dei presupposti su cui si fondano, e, perciò, condividere le peculiarità che ne derivano.
Lo studio del modello di Solow, pertanto, per quanto inadeguato a spiegare compiutamente il fenomeno nella sua interezza, permette di illustrare almeno parzialmente come i sistemi che gli assomigliano, per dirla in modo spicciolo, si comportano.
Consideriamo, ad esempio, uno degli argomenti retorici che il decrescitismo usa abbastanza spesso per autopromuoversi.
Sfruttando il senso comune che vede nel risparmio un investimento per il futuro, chiede a noi tutti di consumare meno, più “responsabilmente”, per garantire alle generazioni future sufficiente accesso alle risorse che, altrimenti, noi sfrutteremmo in eccesso, per gretto egoismo.
Ebbene, nei primi anni ’60, un economista americano, Edmund Phelps, più tardi insignito del premio Nobel per l’economia (non che questo di per sé significhi che ciò che Phelps dice sia invariabilmente giusto e interessante, ma per dovere di cronaca va comunque detto),ha analizzato proprio il problema, cui si ispira la retorica decrescitista, di quale sia il tasso di risparmio che massimizza le possibilità di consumo nel tempo[1][2].
Se si segue la linea di ragionamento di Phelps, si può vedere come la nozione di buon senso per cui un maggior risparmio è sempre vantaggiosa, qualunque sia il tasso di risparmio attuale, non sia, in realtà, sempre vera, e che potrà esistere un valore di s, il nostro indice della propensione al risparmio, ottimale, tale da garantire un livello massimale di consumo ad ogni generazione.
Abbiamo già osservato che, data la struttura del modello, il consumo pro capite, nel lungo periodo, sarà costante, e sarà, ceteris paribus, univocamente determinato da s.
Possiamo anche osservare che tanto più vicino al valore massimo unitario sarà s, tanto maggiore sarà il capitale fisico pro capite e che costantemente, per ogni valore ammissibile di s.
Il consumo pro capite in condizioni stazionarie varrà , per cui, ricordando che , potremo riscrivere la seguente relazione, che era già stata enunciata:

Su di essa ci risoffermiamo, nella prospettiva di Phelps, per mostrare che, esprimendola come funzione di s, essa presenterà un punto di massimo in , il valore di s per cui si annulla la derivata dell’espressione a secondo membro.
Il valore corrispondente, perciò, è il massimo consumo costante possibile in condizioni stazionarie.
golden_ruleCiò che è rilevante è che, superato tale valore di s, cioè se gli abitanti del nostro mondo ideale fossero ancora più parsimoniosi e “responsabili” nel consumo, sia la generazione corrente che le future avrebbero meno capacità di consumo.
Di per sé, si badi, questo potrebbe non essere visto come qualcosa di deprecabile ( dipende da cosa ci si prefigge…), ma resta il fatto che, in talune condizioni, un risparmio minore non incrementa la capacità di consumo solo nel presente, come è ovvio, ma anche nel futuro, e l’incremento si ha anche durante il transitorio tra il livello di risparmio iniziale e quello finale.
Al valore ottimale di s corrisponderà, anche un valore di capitale pro capite.
La regione del grafico y/k per cui k è maggiore di tale valore viene definita di inefficienza dinamica dell’economia, poiché si ha un eccesso di risparmio.
La condizione, più consona al senso comune, per cui un maggiore risparmio nel presente garantisce una maggiore capacità di consumo nel futuro, invece, si ha solo per valori di s inferiori al valore ottimale.
In questo caso, però, a differenza del precedente, poiché si ha, nel transitorio, una riduzione dei consumi, non è possibile, ignorando il tasso di sconto, valutare se tale scelta possa incontrare il favore degli abitanti del nostro piccolo universo.
Quello che, discorsivamente, poteva apparire come un ragionamento di buon senso, per cui la parsimonia di oggi dovrebbe ripagare nel futuro, si dimostra più complesso e esisteranno delle condizioni non banali per cui potrebbe o non potrebbe essere applicabile.
Il risultato, importantissimo, ottenuto da Phelps non si esaurisce, chiaramente, in queste brevissime considerazioni, ma ho voluto proporlo per mostrare come attraverso una formulazione rigorosa si possa anche mettere a nudo la debolezza di un argomento retorico, smascherandone la natura fallace di generalizzazione indebita.
Esaurita l’analisi dell’evoluzione nel lungo periodo del sistema, non resterà, per completare questo ciclo di post sul modello di Solow-Swan, che studiare il sistema da un punto di vista dinamico. Cosa che, spero, nei prossimi post, mi porterà a mostrarne gli aspetti più interessanti.


Note:
[1]The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen,Edmund Phelps, The American Economic Review, Vol. 51, No. 4 (Sep., 1961), pp. 638-643
[2]Second Essay on the Golden Rule of Accumulation,Edmund S. Phelps, The American Economic Review, Vol. 55, No. 4 (Sep., 1965), pp. 793-814

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