il modello di Solow Swan, seconda parte

Un termine che suscita spesso malumori nel discutere di modelli economici è il termine “neoclassico”. Anche in questo caso, per dare il giusto significato alle parole, e visto che nel modello cui questi post sono dedicati la funzione di produzione che sarà usata è neoclassica, sono costretto a una breve digressione per descrivere in cosa consista tale neoclassicità, per poi giungere alla conclusione che, a mio avviso, tanto scandalo in questo “neoclassicismo”, alla fine, non c’è.
Perché una funzione di produzione sia classificabile come neoclassica deve godere di 4 proprietà:

rendimenti di scala costanti

Immaginiamo di incrementare capitale e lavoro di un fattore costante positivo λ. Se la quantità di prodotto che si otterrà sarà incrementata a sua volta di tale fattore, si dirà che i rendimenti di scala sono costanti.
In termini formali:

La cosa ha un suo senso intuitivo. Se ho il doppio delle attrezzature e il doppio delle persone che lavorano, mi aspetto di ottenere il doppio del prodotto. Come si può osservare, la natura di bene non-rivale della tecnologia fa sì che essa non sia interessata da questa relazione.

rendimenti positivi e decrescenti dei fattori di produzione

Si assume che, a parità di tecnologia e lavoro, un incremento di capitale incrementi l’output, ma che ogni ulteriore incremento di capitale dia un beneficio via via minore. Lo stesso assunto vale per incrementi di lavoro a parità di capitale.
Intuitivamente se mettiamo due persone a lavorare in un campo, lo dissoderanno più in fretta di quanto non possa fare una persona sola. Ma se, seguendo questo ragionamento, incrementassimo via via il numero di persone che lavorano a quel campo è abbastanza evidente che quando da 50 contadini si passi a 51, l’effetto non sarà più così evidente.
Questo concetto richiede una formulazione matematica più articolata:
,
,

condizioni di Inada

Se consideriamo cosa succede quando uno dei fattori di produzione è pressoché assente e ne incrementiamo la quantità, seguendo il ragionamento già fatto, la variazione nella quantità di prodotto sarà elevatissima, poiché si passa dal non poter produrre ad avere una quantità definita di prodotto.
Analogamente, se si ha una quantità pressoché illimitata di uno dei fattori, un suo ulteriore incremento non influenzerà la nostra capacità di produrre.
Anche in questo caso la formulazione matematica può apparire più criptica del significato intuitivo:


Si può dimostrare che la quarta proprietà, che implica che, in assenza di uno dei fattori di produzione, l’output sia nullo è deducibile dalle tre precedenti.
Ora, mostrato che la neoclassicità della funzione di produzione non è una caratteristica poi così arcana, possiamo chiudere la digressione con cui ho iniziato il post per portare avanti il discorso iniziato nel precedente.
Iniziamo a ipotizzare che la nostra funzione di produzione sia, effettivamente, tale da godere delle proprietà appena discusse. Una prima conseguenza che possiamo trarne è relativa a come si comporta la funzione di produzione pro capite.
Nel discutere il fatto che ci aspettiamo di avere rendimenti di scala costanti abbiamo definito la proprietà rispetto a una costante positiva arbitraria. Niente ci impedisce di usare come tale costante la quantità di lavoro stessa, o, per meglio dire, il numero di lavoratori stesso.
Otteniamo, con una minima manipolazione algebrica la seguente formula:

dove si è definita f(k) la funzione di produzione pro-capite e si è omessa la dipendenza dalla tecnologia, che era stata ipotizzata costante nel tempo.
Se dividiamo per L entrambi i membri, otteniamo un risultato interessante, poiché risulta che il prodotto pro-capite non risulta dipendere dalla popolazione.
Questo risultato ci permette di giustificare la nostra idea intuitiva per cui l’India, pur essendo un paese con un PIL enorme è, tuttavia, ancora considerato un paese abbastanza povero, poiché il PIL pro-capite non è interessato da fattori di scala in relazione alla popolazione e un paese con una enorme popolazione può, perciò, avere un reddito per persona più basso, che dipenderà dalla tecnologia disponibile e dalla quota di capitale fisico pro-capite.
Proseguendo nell’analisi delle forme intensive delle equazioni e sfruttando le proprietà comuni alle funzioni di produzione neoclassiche possiamo finalmente derivare l’equazione fondamentale del modello.
Nella prima parte avevamo descritto l’equazione differenziale che lega il tasso di variazione temporale del capitale al suo valore:

se, anche in questo caso, dividiamo entrambi i membri per la popolazione, otteniamo la seguente formulazione:

per eliminare la dipendenza da L a primo membro sfruttiamo il fatto che

e enunciamo l’equazione fondamentale del modello:

Vorrei far notare che il senso di questa equazione rimane quello che si è descritto inizialmente nella prima parte del post: il capitale varierà in funzione della frazione di output, pro-capite in questo caso, che viene reinvestita e del progressivo deprezzamento effettivo del capitale fisico pro-capite, che tiene conto degli effetti dell’incremento esponenziale della popolazione.
Se il valore di s fosse 0, e tutto il prodotto fosse destinato al consumo, più o meno lentamente avremmo che il capitale pro-capite si eroderebbe, in parte per il suo naturale deprezzamento, in parte perché il capitale complessivo sarebbe diviso tra un numero sempre più alto di attori.
solowswanSupponiamo di rappresentare sul piano y/k f(k), sf(k) e la retta di pendenza (n+δ), e osserviamo che f(k), per le condizioni di Inada, deve partire dall’origine, con una pendenza iniziale infinita, dovrà poi continuare a crescere con un tasso di crescita via via minore, per via dei rendimenti positivi e decrescenti che caratterizzano la nostra funzione di produzione neoclassica, e tenderà, per k tendente ad infinito a avere una pendenza nulla ( ancora una volta per soddisfare le condizioni di Inada).
Tutto ciò serve a farci dire che deve esistere un punto k* in cui la curva sf(k) e la retta si incontreranno, annullando il valore del tasso di variazione del capitale.
Fino ad ora nel descrivere questo modello abbiamo continuato a considerare una condizione molto limitata, in cui household e azienda produttrice coincidono. Eliminiamo ora questa ipotesi e vediamo se e cosa cambia nel modello.
Nella nuova situazione le nostre famiglie possiederanno degli asset e potranno fornire forza lavoro.
Gli asset avranno un tasso di rendimento r(t) e il salario sarà pari a w(t).
Ci aspettiamo che le famiglie cercheranno di non consumare tutto il reddito per incrementare, con la differenza, i propri asset.
Avremo, quindi, un tasso di variazione degli asset, che sarà pari a:

Anche in questo caso, come si è fatto precedentemente, si può ricavare, con un po’ di algebra, la forma intensiva dell’equazione.

equazione 1

dove a è la frazione di asset pro-capite.
Dall’altro lato avremo le aziende, che, per la struttura che ci siamo dati, pagheranno la rendita di capitale alle famiglie che possiedono gli asset e sosterranno il costo del salario per il lavoro.
Evitando di elaborare i calcoli, e ricordando che si deve sempre tener presente il presupposto dei rendimenti di scala costanti, possiamo esprimere la legge che governa il profitto delle aziende:

Scopo dell’azienda è quello di massimizzare il profitto.
Considerando che nessuna delle aziende sul mercato possa influenzare i costi del lavoro e del capitale ( r e w sono considerate come dati) la condizione per cui si ottiene questo risultato si ottiene quando l’azienda farà sì che

In sostanza, l’azienda dovrà scegliere un rapporto k’ fra fattori di produzione che eguagli la produttività marginale del capitale al suo costo.
Questo, si osservi, è legato alla proprietà, discussa inizialmente, per cui i rendimenti dei fattori di produzione sono positivi e decrescenti, per cui si arriverà a un punto in cui l’azienda, a parità di lavoro, incrementando ulteriormente l’utilizzo di capitale ne avrà un beneficio minore del costo addizionale, che abbiamo dato per fissato e costante, che dovrà sostenere per esso.
Fissate queste condizioni, risulterà che il profitto dell’azienda sarà negativo, nullo o positivo in funzione di w, che abbiamo considerato come non influenzabile dall’operato dell’azienda.
Questo comporta che, visto che c’è una dipendenza diretta da L, se il profitto è positivo l’azienda sarebbe portata a incrementare infinitamente di dimensione, mentre se fosse negativo dovrebbe azzerare le proprie dimensioni, smettendo di produrre. Un profitto nullo, invece, rende l’azienda indifferente alla propria dimensione.
In queste condizioni si può anche mostrare che la produttività marginale del lavoro è pari a w.
Il modello, perciò, non ci dice nulla sulla dimensione che una specifica singola azienda avrà, ma determina il rapporto ottimale tra i fattori di produzione, e, poiché la forza lavoro evolve in modo indipendente e dato, determina anche il livello effettivo di produzione aggregata.
Sottolineo, nuovamente, che gli aspetti che possono apparire distorti rispetto all’esperienza comune sono frutto di quelle ipotesi che sono state fissate all’inizio. Se, però, si accetta che esse siano soddisfatte “localmente”, alcuni aspetti “divergenti” del modello, come la crescita infinita delle dimensioni di un’azienda con profitti positivi si traducono in condizioni che, effettivamente, nella vita reale hanno un senso meno arcano: un’azienda in salute tenderà ad espandersi, mentre un’azienda in perdita tenderà a contrarsi.
Poiché la nostra economia è chiusa, possiamo determinare alcune condizioni ulteriori.
Inizialmente abbiamo ipotizzato che le famiglie possiederanno gli asset che vengono poi presi in prestito dalle aziende per supportare la produzione ( gli asset, in realtà possono anche essere posseduti dalle aziende, in tal caso le famiglie possiederanno azioni delle aziende, ma la sostanza non cambia), questo però comporta che, in condizioni di equilibrio, si debbano eguagliare gli asset con il capitale a disposizione delle aziende, per cui avremo che a=k.
Le considerazioni che abbiamo fatto sugli equilibri di mercato ci permettono di sfruttare le relazioni che abbiamo trovato tra la produttività marginale dei fattori di produzione e il loro rispettivo costo:


per riformulare l’equazione 1, posto che, come si diceva, a=k:

Se, seguendo Solow e Swan, continuiamo a considerare che la frazione di reddito che le famiglie risparmiano sia pari a s, possiamo sostituire c, il consumo, con (1-s)f(k), per ottenere, anche in presenza di mercato competitivo, l’equazione fondamentale del modello di Solow-Swan:

equazione di Solow-Swan

Ora, dopo aver determinato la forma che ha la legge con cui evolve il capitale, nel prossimo post, descriverò cosa se ne può dedurre e come tutta questa matematica possa iniziare ad aiutarci a comprendere i meccanismi che governano la crescita economica, che, per ora, continua a rimanere sullo sfondo.

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2 risposte a il modello di Solow Swan, seconda parte

  1. mlejnas ha detto:

    Ehi, tutto bene?
    Stiamo aspettando con ansia la terza parte!

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