il modello di Solow-Swan, prima parte

Nei precedenti post ho cercato di descrivere, per quanto mi è stato possibile, cosa sia la crescita economica e come spesso le posizioni eterodosse a tal proposito siano frutto di una visione non solo illiberale e anti free-market, ma anche pienamente antiumanistica.
D’altro canto esiste una immensa, pressoché sterminata, letteratura tecnica sul tema, affrontato da una prospettiva completamente diversa: quella di chi vorrebbe capire quali siano i meccanismi che fanno si che un’economia possa evolvere con trend positivi come quelli descritti precedentemente.
La prima osservazione che va fatta è che la mole di dati disponibili van in qualche modo sintetizzata, definendo dei fatti stilizzati, che possano essere usati per produrre un modello che consenta, appunto, di interpretare il fenomeno.
A compiere quest’opera di sintesi è stato un economista inglese di origini ungheresi, Nicholas Kaldor, che ha enunciato i seguenti 6 “fatti”:

  • un tasso di crescita continuo e relativamente regolare della produzione e dello stock di capitale pro capite
  • un tasso di crescita continuo del reddito pro capite
  • un tasso di rendimento del capitale approssimativamente costante
  • un rapporto capitale-prodotto stabile
  • la ripartizione del reddito nazionale tra lavoro e capitale piuttosto stabile
  • la persistenza di forti disparità internazionali nel tasso di crescita pro capite

Questa sintesi estrema del fenomeno, per lo meno dal punto di vista strettamente quantitativo, pone alcune condizioni che qualunque modello che voglia descrivere e spiegare i meccanismi che governano la crescita deve necessariamente soddisfare.
La teoria della crescita ha prodotto diversi modelli di questo tipo, ma sicuramente tra i più famosi c’è quello a cui questo post è dedicato.
Nessun modello, ovviamente, sarà mai in grado di descrivere la realtà in tutte le sue sfaccettature, e, a volte, alcune delle conseguenze che si possono trarre da ciascun modello sono palesemente irrealistiche.
Nonostante ciò, l’analisi e lo studio dei modelli permette di capire aspetti della realtà la cui interpretazione, altrimenti, potrebbe essere decisamente difficile.
Oltre a ciò permette di comprendere a fondo perché altri modelli, che vengono usati per avvalorare ben precise tesi politiche, descrivono solo i pregiudizi di chi ha sviluppato il modello stesso.
La stragrande maggioranza dei modelli utilizzati nello studio della crescita economica prevedono l’esistenza di due sole tipologie di attori: le “famiglie” o households, e le aziende.
Le prime possiedono gli input e gli asset dell’economia, incluse le quote di proprietà delle aziende stesse, e decidono autonomamente quanta parte dei loro introiti utilizzare per i propri consumi o accantonare per risparmio.
Sono le famiglie che decidono quanti figli avere, se lavorare e quanto lavorare.
Le seconde acquistano input, che siano capitale o lavoro, e li utilizzano per produrre dei beni da rivendere, alle famiglie o ad altre aziende. Per operare le necessarie trasformazioni degli input per ottenere prodotti da rivendere le aziende hanno accesso alle tecnologie necessarie.
Gli scambi avvengono in un mercato in cui i prezzi sono determinati dalla domanda e dall’offerta relativa ai singoli beni ed input.
E’ chiaro che questo “universo” è estremamente semplificato, ma così come in fisica nessuno si scandalizza se si parla della dinamica del corpo rigido, trascurando opportunamente la capacità dei corpi di deformarsi in seguito all’applicazione di una forza, si capisce che da modelli di questo tipo si possono dedurre proprietà non banali dei sistemi economici.
Un aspetto che pare indigesto a molti è legato alla considerazione che un modello è tanto più attendibile quanto più la realtà gli assomiglia, e, viceversa, quanto più la realtà sarà distante dal modello tanto più ciò che ne discende sarà differente da quel che accade realmente.
Sottolineo il fatto che intenzionalmente non ho parlato di quanto il modello somigli alla realtà, ma del contrario.
Questo perché spesso si rimprovera ai modelli matematici di non rappresentare adeguatamente ciò che possiamo esperire.
Purtroppo questa obiezione non è valida poiché è una forma sottile di straw man. Nessun modello potrà mai rappresentare tutta la realtà in tutte le sue sfaccettature, e, ovviamente, chi propone un modello di un fenomeno, vorrà includere in esso solo quegli aspetti della realtà che riterrà rappresentativi.
Rimproverare, perciò, a un modello di non rappresentare “la realtà”, qualunque cosa si intenda per essa, è rimproverargli qualcosa che il modello, qualunque modello, non si è mai prefisso.
Sicuramente, nella realtà, concorrono a generare gli output di produzione di un’azienda un numero elevato di fattori. Normalmente, ragionando astrattamente, si assume che si possa dare una rappresentazione ragionevole con un’operazione di sintesi che riduce tali fattori a 3: il capitale, il lavoro, e la tecnologia.
Chiaramente la produzione varierà nel tempo, e varierà in funzione del fatto che questi ultimi saranno soggetti a cambiamenti.
In termini matematici potremmo dire che esiste una funzione

che permette di determinare in modo univoco, in un dato istante di tempo, quale sia l’output che è possibile ottenere dal capitale, dal lavoro e dalla tecnologia disponibili in quell’istante.
Possiamo qui già notare che esiste un aspetto fondamentale che viene spesso, forse volutamente, ignorato da chi nutre dubbi sistematici sulla possibilità una crescita non limitata.
Il capitale, inteso banalmente come l’insieme di tutti quei beni come macchinari, impianti, stock di materiali etc., è un insieme di beni rivali. Il capitale detenuto da un’azienda non può essere detenuto simultaneamente da un’altra azienda. Un discorso analogo vale per il lavoro, il tempo che un lavoratore spende nel lavorare per un’azienda non può essere simultaneamente speso a vantaggio di un’altra.
Un discorso profondamente diverso vale per la tecnologia.
La ricetta, l’idea, il modello cui ci si rifà per produrre, la conoscenza che è necessario possedere per poter usare correttamente gli altri fattori di produzione per accrescere il valore di ciò che si produce rispetto alla mera somma del valore di tutti i fattori gode della fondamentale proprietà di non essere un bene rivale.
Il modo in cui si possiede la ricetta del pane è essenzialmente diverso dal modo in cui si possiede il kilogrammo di farina con cui lo si produce.
Thomas Jefferson ha espresso mirabilmente questa differenza:“If nature has made any one thing less susceptible than all others of exclusive property, it is the actions of the thinking power called an idea, which an individual may exclusively possess as long as he keeps it to himself; but the moment it is divulged, it forces itself into the possession of everyone, and the receiver cannot dispossess himself of it. Its peculiar character, too, is that no one possesses the less, because every other possesses the whole of it. He who receives an idea from me, receives instruction himselfwithout lessening mine”[1].
Se io uso una ricetta, il mio utilizzo non riduce di un ε la possibilità di un suo utilizzo da parte di chiunque altro. Il fatto che la tecnologia goda di questa proprietà ha delle implicazioni notevoli per il fenomeno di cui sto parlando (male) da diversi post.
Introduciamo, ora, una serie di ipotesi. Consideriamo per semplicità di avere a che fare con un’economia chiusa in cui un unico produttore opera in un unico settore e, come una sorta di Robinson Crusoe, consuma egli stesso ciò che produce. Per semplicità, ma, come si usa dire, senza togliere di generalità al ragionamento, immaginiamo che l’output della produzione possa essere, in qualche modo, reinvestito nell’azienda o per creare del nuovo capitale, o per sostituire parte del capitale precedentemente posseduto deprezzatosi col tempo.
Si immagini alla coltivazione di una pianta, ad esempio, che possa essere o consumata o riutilizzata per alimentare la produzione.
Se esprimiamo tutto ciò in termini matematici, detta C(t) la quantità di output consumata all’istante t, e I(t) la quantità di output reinvestita, abbiamo che

Viste le caratteristiche della nostra asfittica economia chiusa, l’output di produzione costituisce anche l’intero reddito del nostro Robinson. Se noi sottraiamo dal reddito ciò che dedichiamo al consumo, otteniamo quello che possiamo definire l’ammontare dei risparmi del nostro eremita.
Perciò, data la seguente definizione di risparmio,

è evidente che nella nostra isoletta tropicale ciò che si risparmia coincide con ciò che si reinveste nella produzione.
Ora, è evidente che tra un Robinson gaudente che consuma tutta la produzione oggi, pregiudicandosi la possibilità di un raccolto futuro, e un Crusoe avaro che risparmia e reinveste tutto, morendo d’inedia in attesa del prossimo raccolto, deve esistere una frazione ottimale del volume di produzione che convenga reinvestire per garantire una produzione futura.
Un Crusoe avveduto valuterà quale sia questa frazione ponendosi un problema di scelta intertemporale, valutando i costi e i benefici, presenti e futuri, della propria scelta.
Per quel che ci riguarda, assumiamo che il nostro naufrago si sia posto il problema e abbia deciso di risparmiare una quota  del proprio reddito.
In termini formali si usa dire che questa è una variabile esogena del modello.
Abbiamo accennato, prima, al fatto che il capitale, col passare del tempo si deprezza. La zappa di Robinson lentamente si rovinerà, e Robinson dovrà spendere parte delle sue energie per crearsene un’altra. Le funi si sfilacceranno, e Robinson, diligentemente, spenderà tempo e risorse per farne delle nuove.
Diciamo che, sempre per semplicità, il tasso di deprezzamento del capitale, che considereremo come un bene omogeneo ( non facciamo differenze tra zappe e funi), sia costante e pari a δ.
Questo fenomeno di deprezzamento, che avvenga con un tasso costante o meno, è un altro punto interessante nella nostra disamina del fenomeno della crescita economica, perché è un altro dei punti che viene furbescamente omesso dai patiti della decrescita. Nei loro discorsi, infatti, sembrerebbe che il capitale si preservi da solo e che non ci sia mai bisogno di sostituire o riparare macchinari, né che la ruggine rovini mai le loro zappe.
Eppure, già in un’isola deserta, la termodinamica giocherebbe contro di loro.
Possiamo, però, ora, descrivere matematicamente come varierà nel tempo il capitale:

Il punto al di sopra della funzione K(t) a primo membro indica che stiamo parlando della derivata rispetto al tempo di K(t).
Data la quantità di lavoro e la tecnologia disponibile al nostro Robinson, la dinamica con cui varierà il suo capitale è così data.
Quello che abbiamo fatto è stabilire una relazione tra il tasso di variazione del capitale in un dato istante e il suo stesso valore in quell’istante.
Ammettiamo, ora, che la piccola comunità isolana si arricchisca. E per buona sorte di Robinson, anziché accogliere un Venerdì, nella sua ridente isoletta dovrà ospitare una simpatica… Domenica.
La simpatia tra i due è travolgente, e la popolazione dell’isola inizierà a crescere.
In linea generale, e fuor di metafora, l’andamento della forza lavoro rifletterà l’andamento della popolazione, e avremo influenze dal tasso di natalità, di mortalità, così come dalla quantità di tempo che ciascuno vorrà dedicare al lavoro o a sé stesso, e dalle capacità di ciascuno, a parità di tempo, di lavorare meglio, o di più.
Nella nostra isoletta, per evitare di fare le cose troppo complesse, assumiamo che il rapporto tra la derivata rispetto al tempo di L(t) e L(t) stesso sia costante e pari a n.
Questo è un modo arzigogolato di dire che L(t) varia con una legge esponenziale crescente:

Questo andamento è, spesso, indicato come malthusiano, in onore del padre di tutti i pessimisti, che immaginano che la popolazione della terra cresca inarrestabilmente, correndo come un treno contro la catastrofe.
In realtà esistono modelli meno tragici, come quello della crescita logistica, per i quali, alla fine, Robinson e la sua discendenza non necessariamente si riprodurranno come conigli.
Un vantaggio innegabile del modello malthusiano è, però, quello di essere matematicamente più semplice da trattare.
Così, pigrizia e pessimismo si alleano e consentono di disegnare, con puntiglio matematico, scenari foschi a piacere.
Facciamo ora, temporaneamente, un ultimo assunto: Robinson è una persona intellettualmente pigra, e trasmette questa sovrana pigrizia a tutti i suoi discendenti, che perciò non si sforzeranno mai di migliorare i loro metodi di coltivazione.
Come si potrà intuire, questo significa che nella nostra isola T(t)=T, costante.
Giunti a questo punto, manca un ingrediente fondamentale, che ci impedisce ancora di dire come K(t) e Y(t), ciò che ci interessa discutere, parlando di crescita economica, varieranno nel tempo: la forma che deve avere la funzione F(), che discuterò nel prossimo post.
Per concludere vorrei aggiungere qualche osservazione.
Credo che sia utile tener presente, nel discutere i modelli di questo tipo, riflettere sulle ipotesi che vengono fatte, poiché, come ho già sottolineato, nello sceglierle si definisce anche l’ambito di validità del modello.
Ho inizialmente parlato di mercati, ma, volutamente, poi ipotizzato una struttura con un solo produttore che consuma tutto ciò che produce: il nostro modello non contempla l’esistenza di mercato.
Ho considerato nel definire i fattori di produzione il capitale solo in termini di capitale fisico: la zappa di Robinson fa parte del capitale, ma non ho considerato quanto Robinson sia bravo ad usarla, né che, forse, la sua compagna potrebbe aver meno dimestichezza con essa.
Ho, tacitamente, considerato l’offerta di lavoro come inelastica e ho già sottolineato come la costante crescita esponenziale della popolazione dell’isola sia una stranezza.
Nel proseguire la discussione cercherò di sottolineare cosa questi assunti comportino e, laddove possibile, nei limiti dello spazio che gli potrò dedicare cercherò di mostrare come un cambiamento in queste ipotesi influenzerà le conclusioni che si possono trarre.


Note:


[1]:”Se c’è una cosa che la natura ha reso meno soggetta, rispetto alle altre, ad un regime di proprietà esclusiva, è l’azione del pensiero che chiamiamo idea, che ciascun individuo può possedere per sé solo fino a che la tiene esclusivamente per sé; non appena la si divulghi, per sua natura diviene possesso di tutti, e chi ne venga a conoscenza non può più privarsi del suo possesso. E’, per di più, una sua peculiarità che nessuno possa possederla in misura minore, per effetto del suo essere completamente posseduta da ciascuna altra persona. Chi riceve un’idea da me, la riceve senza privarne me di una minima parte” lettera del 13 agosto 1813 ad Isaac McPherson

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